Сразу после новогодних праздников я неожиданно для себя стал вести уроки математики в частной начальной школе. У меня второй и третий классы.
В третьем классе учится дюжина мальчишек и девчонок. Уроки математики проходят четыре раза в неделю по программе, разработанной под руководством Людмилы Георгиевны Петерсон.
За время наших уроков мы, в первую очередь, учились умножать и делить столбиком многозначные числа на однозначное число.
Чтобы это изучение проходило отлично, каждый ребёнок должен отлично знать таблицу умножения и немного умножать и делить за пределами таблицы умножения. Как можно помочь каждому ребёнку её закрепить?
Все мы умеем считать: один, два, три, четыре, пять … Это счёт единицами, где каждое следующее число мы получаем путём прибавления единицы к предыдущему. Но считать можно не только единицами, но и парами: два, четыре, шесть, восемь, десять … А можно считать тройками: три, шесть, девять, двенадцать, пятнадцать, восемнадцать … Также осуществляется счёт четвёрками: четыре, восемь, двенадцать, шестнадцать, двадцать, двадцать четыре, двадцать восемь, тридцать два … Подобный счёт пятёрками, шестёрками, семёрками, восьмёрками и девятками способствует знакомству с составом таблицы умножения и немного её сутью: умножение — это краткая запись сложения одинаковых слагаемых, где результат умножения — это результат сложения одинаковых слагаемых. И считать так можно не только однозначными числами, но и дюжинами, и даже чёртовыми дюжинами. Кстати, а ваши второклассники и третьеклассники знают, что такое «чёртова дюжина»?
Другой способ закрепить таблицу умножения — это тренажёры и соревнования с использованием тренажёров. Один из них я могу порекомендовать: https://sunandstuff.com/multiply/.
Если с этими же детьми вы изучаете программирование, то можно сделать тренажёр самостоятельно: https://scratch.mit.edu/projects/194074582/fullscreen/.
Все ли мои третьеклассники отлично знают таблицу умножения? Пока нет, поэтому в следующем учебном модуле нам есть чему учиться.
Главная идея, которая заложена Людмилой Георгиевной Петерсон в уроки математики, — это осознанные действия, это понимание ребёнком того, как действовать, изучая новое, как действовать, закрепляя уже изученное, как действовать, самостоятельно проверяя свою собственную работу. При этом подходе я не только учу его, например, умножению и делению, но и тому, как учиться. Здесь очень важны вопросы, обращённые к детям: «Что значит учиться? Как строится урок, когда вы узнаёте новое? С чего начнём? Что я вам сейчас предложу? Почему возникло затруднение? Сформулируйте цель дальнейшей работы? Сформулируйте тему урока?» Каждый этап работы должен быть отрефлексирован ребёнком, тогда он не просто выучит то, что ему предлагают, но научиться учиться. В методических материалах, используемых мной при подготовке к уроку, ясно прослеживается тот самый современный системно-деятельностный подход.
Но вот на уроке у меня разные дети. С некоторыми мне бы ещё закреплять таблицу умножения: знания их нетвёрдые, они медленно считают, производя табличное умножение, поэтому умножение в столбик тоже вызывает затруднение: нужно умножать трёхзначные, четырёхзначные, пятизначные числа, а это значит, что умножение нужно произвести три, четыре, пять раз, да ещё удерживать в голове (или хотя бы верно записывать перенос разрядов), не путать умножение и сложение. Есть дети, которые за время, отведённое на решение с объяснением одного примера, могут выполнить пять-шесть, а каждый решённый пример, нуждается в проверке. Должен ли ученик или ученица, способные считать быстро, ждать тех, кто считает медленно? Что могут делать ученики, сидя за партой, пока у доски решают пример с объяснением, который (пока объясняют) кажется таким понятным, что не стоит затрачивать ни внимание на его решение, ни усилий для запоминания формулировок объяснения (отдельных этапов алгоритма)? Как организовать самостоятельную работу для разных детей, учитывая уровень сложности заданий и способности самих детей?
На вопросы, которые задаю себе, я сам не могу ответить раз и навсегда. Каждый раз я учусь быть учителем: учусь быть интересным, учусь быть понятным, учусь быть добрым, учусь быть весёлым, учусь учить, пока мои ученики учатся учиться.
Вот, кажется, все умеют безошибочно умножать столбиком многозначные числа на однозначное: кто-то быстро, а кто-то медленно, кто-то четырёхзначные, пятизначные и шестизначные числа, а кто-то пока только двузначные и трёхзначные, а где-то рядом мы повторяем порядок действий, единицы измерения длины и массы, решение уравнений и задач. И вдруг одна задача не даётся никому из нас!
В классе девочек на четыре человека меньше, чем мальчиков. Всего в классе двадцать пять человек. Сколько в классе девочек, и сколько в классе мальчиков?
https://scratch.mit.edu/projects/648550991/fullscreen/
Папа с Мишей ходили на рыбалку. Папа поймал на семь рыб больше, чем Миша. Когда папа и Миша посчитали свой улов, то оказалось, что вместе они поймали сорок две рыбы. Сколько рыб поймал Миша, и сколько рыб поймал папа?
https://scratch.mit.edu/projects/648558055/fullscreen/
На математическом празднике ученики двух классов решали разные задачи. Ученики 3А решили на 11 задач больше, чем ученики 3Б. Напоминаю, что ученики 3А решали одни задачи, а ученики 3Б — другие: все задачи были различны. Сколько задач решили ученики 3А и сколько задач решили ученики 3Б, если все вместе они решили 37 задач?
Целый урок мы пытались понять, как её решить: мы сравнивали две полоски, как рекомендовано в учебнике, сгибали одну из них, учились писать слово «удвоенное», после уроков мы раскладывали каштаны в две линии, наблюдали, что в одной линии каштанов на сколько-то больше, чем в другой, мы знали общее число каштанов, мы всеми силами пытались сформулировать алгоритм решения подобных задач.
Понимание требует времени. У меня есть ученица, которая поняла два способа решения этой задачи. Но нужно ли сейчас, чтобы каждый понимал эти два способа? Думаю, что умение решать задачу хотя бы одним уже достаточно. А вот научить умению искать эти способы самостоятельно у меня пока не получилось. Может быть, не только детям, но и мне самому нужно время?
Умение умножать и умение делить — это так понятно, так связано между собой. Сколько раз нужно взять одинаковое слагаемое? Это умножение. На сколько одинаковых частей можно разложить целое? Это деление. А если при разложении целого на одинаковые части остаётся часть, которая меньше слагаемого, то этот остаток мы оставляем. Это деление с остатком.
Как быстро дети умеют делить с остатком? Умеют ли они делать проверку деления с остатком? Наряду со знанием таблицы умножения эти вопросы нуждаются в ответах «умеют делать» и «умеют быстро». Одно дело 56 разделить на 8 или даже 59 разделить на 8, а другое дело 584 разделить на 8 и тем более 700 на 9 или 53900 разделить на 70.
Наблюдая за тем, как получается у детей научиться, проговаривая вслух, научиться, работая самостоятельно, я сам решаю какой материал учебника и рабочей тетради им помогает, а какой отвлекает от главной цели, поставленной мною на этом этапе: научить делить столбиком. Очень важно привлечь для формирования навыка все доступные средства. Учить делить столбиком мне помогали не только учебник и рабочая тетрадь, которые разработала команда под руководством Людмилы Георгиевны Петерсон, но и учебные материалы образовательных платформ Учи.ру (https://uchi.ru/) и Яндекс.Учебник (https://education.yandex.ru/).
Чему я учил детей в третьем классе? Умножать и делить столбиком, решать задачи и уравнения? Учил ли я тому, что если приложить усилия, то можно научиться? В том числе научиться умножать и делить столбиком, находить число, которое скрывается за иксом, игреком и другими буквами латинского алфавита, понимать условие задачи, как бы оно ни было запутано. Учил ли я тому, что мне взрослому было интересно на уроке математики, или тому, что математика может быть интересна и мне — взрослому, и тебе — моему любимому ученику?
Уроки во втором классе проходили по программе, разработанной под руководством Марии Игнатьевны Моро.
Мы учились складывать и вычитать в столбик, делать проверку сложению и вычитанию, находить неизвестное слагаемое, неизвестное уменьшаемое и неизвестное вычитаемое, решать задачи на сложение и вычитание, а также познакомились с видами углов, учились определять виды углов в четырехугольнике, называть четырёхугольник, у которого все углы прямые, прямоугольником, и впервые узнали, что квадрат — это тоже прямоугольник, но только прямоугольник с равными сторонами.
Очень интересные задачи содержатся за пределами учебника в поурочных планах:
- Когда цапля стоит на одной ноге, она весит 12 кг. Сколько она будет весить, если встанет на обе ноги?
https://scratch.mit.edu/projects/648065341/fullscreen/ - На двух руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 8 руках?
https://scratch.mit.edu/projects/648075570/fullscreen/ - Винни-Пуху подарили бочонок с мёдом массой 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину мёда, то бочонок с оставшимся мёдом стал весить 4 кг. Сколько килограммов мёда было первоначально в бочонке?
https://scratch.mit.edu/projects/648083325/fullscreen/ - Петя дал младшему брату половину своих яблок и ещё одно яблоко, после этого у него не осталось ни одного яблока. Сколько яблок было у Пети?
https://scratch.mit.edu/projects/648093025/fullscreen/ - Аня купила 1 десяток пуговиц, 2 пары пуговиц она пришила на платье. Сколько пуговиц у неё осталось?
https://scratch.mit.edu/projects/648097995/fullscreen/ - Ручка, карандаш и резинка стоят 25 рублей. Ручка и карандаш стоят 23 рубля, а карандаш и резинка — 5 рублей. Сколько стоит каждый предмет?
Эти задачи помогают задуматься, а не приступать сразу к вычислениям. Очень важно быть внимательным к жизненному опыту детей. Были дети, которые спросили о значении слова «бочонок», были дети, которым их жизненный опыт говорил, что одна половина бывает больше другой, и я рассказывал, что поделить пополам и поделить на двоих поровну — это одно и то же, что одна половина всегда равна другой, а в реальной жизни обладание одной половиной вызывает зависть и чувство несправедливости, потому что другая, чужая половина кажется больше. А в задаче про ручку, карандаш и резинку надо при подготовке к уроку актуализировать цены :
- Ручка, карандаш и ластик стоят 75 рубля. Ручка и карандаш стоят 53 рублей, а карандаш и ластик — 30 рублей. Сколько стоит каждый предмет?
https://scratch.mit.edu/projects/648108009/fullscreen/
Изучение математики под руководством Марии Игнатьевны Моро напоминает подход, который принято называть традиционным. Здесь очень бросается в глаза основательное изучение от простого к сложному, без спешки, сообразно интеллектуальному развитию большинства детей.
Вот мы складываем двузначные числа. Десятки с десятками, единицы и с единицами, без перехода в следующий разряд:
73 + 21, 34 + 45, 82 + 15.
Вот мы вычитаем двузначные числа. Десятки из десятков, единицы из единиц, без заимствования десятка, когда недостаёт единиц:
68 — 34, 75 — 52, 87 — 45.
Мы закрепляем умения складывать и вычитать и учимся проверять сложение вычитанием, а вычитание сложением. Мы решаем задачи на сложение и вычитание:
- Осенью около школы решили посадить 30 деревьев. После осенних посадок осталось посадить ещё 8 деревьев. Сколько деревьев посадили осенью?
- Из посаженных в парке 75 саженцев зимой вымерзли 10. Сколько саженцев прижилось?
Мы заполняем таблицы, чтобы научиться находить не только сумму и разность, но и неизвестные слагаемые, уменьшаемое и вычитаемое:
Мы неизвестный компонент сложения или неизвестный компонент вычитания заменяем буквой и учимся решать уравнения:
9 + х = 17, 30 + х = 38, х + 20 = 28, х + 60 = 64
38 — х = 5, х — 12 = 6, 45 — х = 30, х — 8 = 7, 14 — х = 6
Мы мастерим из бумаги модель прямого угла.
Мы учимся сравнивать: угол больше нашей модели, значит, угол тупой, а если угол меньше нашей модели, то это угол острый.
Мы учимся строить углы с помощью карандаша и линейки. Мы учимся сравнивать с прямым углом, пользуясь угольником.
Мы угольником учимся определять виды углов в четырёхугольниках. Мы узнаём, что четырёхугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Медленно, из урока в урок, появляются знания, закрепляются умения, вырабатываются навыки.
Мы пишем столбиком двузначные числа: десятки под десятками, единицы под единицами. Мы складываем, начиная с единиц. И получив при сложении единиц двузначное число, мы единицы пишем под единицами, а десятки переносим в разряд десятков и начинам складывать десятки.
Мы вычитаем столбиком двузначные числа, записывая десятки под десятками, единицы под единицами. Мы вычитаем, начиная с единиц, но если не можем этого сделать, то занимаем один десяток в разряде десятков, о чём предусмотрительно ставим точку: десятков стало на один меньше, а единиц стало на десять больше. Теперь уже можно вычесть сначала единицы, записывая ответ в разряд единиц. А вычитая десятки, мы смотрим на точку, вспоминаем, что мы занимали один десяток и их теперь на один меньше, и, помня об этом, мы вычитаем из десятков десятки, записывая ответ в разряд десятков.
И так много примеров решаем из учебника, решаем в рабочей тетради, закрепляем на образовательной платформе Яндекса.
А также мы решаем много задач:
- Дети сделали 10 фонариков и 6 хлопушек. Сколько всего ёлочных игрушек они сделали?
- Маме 32 года, а бабушке 56 лет. На сколько лет бабушка старше мамы?
- У лодочной станции было 15 яхт. Когда несколько яхт вышло в море, осталось 8 яхт. Сколько яхт вышло в море?
- Когда Оля прочитала 40 страниц книги, ей осталось прочитать на 5 страниц меньше, чем они прочитала. Сколько всего страниц в книге?
- В ателье сшили 26 платьев, костюмов на 4 больше, чем платьев, а брюк на 10 меньше, чем костюмов. Сколько брюк сшили в ателье?
Задачи мы учимся читать вслух, делать краткую запись, схему. В текстах мы учимся видеть условие и вопрос. Нам, взрослым, кажется, что это очень легко, но это пока вы на свою просьбу прочитать условие задачи, не услышите встречную просьбу ученицы: «Дмитрий Михайлович, я не знаю, что такое условие». Эти и подобные реплики о незнании, непонимании помогают мне, учителю, не спешить, а терпеливо объяснять одно за другим, простыми словами, ясно и отчётливо , чтобы в ответ услышать: «О! Я поняла!» или «Я понял, это легко!»
Мы вместе считали примеры, решали задачи и читали главы из книги «Три дня в Карликании». И я снова повторю, что когда мы учимся, то учитель — это больше, чем учебник, чем рабочая тетрадь, чем поурочные планы. Мы те, кто может вести и от простого к сложному, и от трудного к ещё более трудному. Мы можем вести за собой, а можем следовать туда, куда в лицах наших детей нас зовёт будущее.