Элементы алгебры логики

Это слайд-шоу требует JavaScript.


В хорошей старой книге Инны Львовны Никольской и Ефима Евстафьевича Семёнова «Учимся рассуждать и доказывать» была такая история.

Книга «Учимся рассуждать и доказывать» И. Л. Никольская, Е. Е. Семенов - купить на OZON.ru книгу с быстрой доставкой | 5-09-000591-5 Книга «Учимся рассуждать и доказывать» И. Л. Никольская, Е. Е. Семенов — купить на OZON.ru книгу с быстрой доставкой | 5-09-000591-5

История первая («и» и «или»)

Как-то раз Петя попросил сестрёнку Катю погулять с Джимом, так как он ещё не выучил географию, по которой его завтра должны спросить. С прогулки Катя вернулась взволнованная: какой-то прохожий упрекнул её в нарушении правил содержания собак в городе. Листок с правилами был наклеен на заборе, и одно из них гласило: собака на прогулке должна быть на поводке… в наморднике (кусочек бумаги после слов «на поводке» был оторван).

— Разве это справедливо? — горячилась Катя.— Я действительно спустила Джима с поводка, но он же был в наморднике! Кто же из нас прав?

— М-м-м,— засомневался Петя.— В самом-деле, кто прав? Давай-ка позовём Митю — он мастак в логике и наверняка поможет нам разобраться в этом деле.

Митя тут же пришёл и, выслушав Петю (Катя слишком взволновалась, чтобы связно рассказать о случившемся), ответил на его вопрос вопросом:«А ты видел эти правила? Как там сказано: «…на поводке или в наморднике», а может: «…на поводке и в наморднике»?»

— Какая разница? — хором воскликнули Петя и Катя.

— Не все ли равно? А такая разница,— сказал Митя, что если «или», то права Катя, а если «и» — то прохожий.

— Вот как,— удивился Петя.— Значит, от такой малости зависит, кто прав, кто виноват!

— От такой малости? — усмехнулся Митя.—Разные слова, имеющие разный смысл, совсем не малость. Запятая, и та настолько важна, что может решить вопрос о жизни и смерти. Представь себе, что будет, если в приговоре «Казнить нельзя, помиловать» запятую нечаянно поставят не после, а перед «нельзя». А иногда к недоразумению может привести даже различное понимание одного и того же слова. Допустим, мама, уходя на работу, сказала, что после уроков ты можешь сходить в кино или на каток, а узнав вечером, что ты успел побывать и там, и там, недовольно заметила, что она тебе этого не разрешала. «Но как же так? — возразишь ей ты. — Ведь было сказано «в кино или на каток» Помнишь, Петя, учительница объявила, что на родительское собрание должны прийти мама или папа, но была довольна, когда они пришли оба? Итак, кто же будет прав в этом случае — мама или ты? А оба правы. Дело в том, что слово или имеет в нашей обычной речи два значения — разделительное и неразделительное.

Во многих случаях по смыслу фразы легко понять, какое из этих значений имеется в виду. Например, в знаменитой фразе Гамлета «Быть или не быть — вот в чем вопрос!» слово «или» имеет, несомненно, разделительный смысл: невозможно одновременно «быть» и «не быть». А объявление «Наше бюро добрых услуг поможет Вам вымыть окна или натереть полы» не исключает, разумеется, возможности воспользоваться сразу обеими услугами. В маминой фразе «или» может иметь как разделительный, так и неразделительный смысл. Такая двусмысленность и есть причина её разногласия с сыном.

Непременным условием плодотворности рассуждений является недвусмысленность, однозначность используемых в них слов и выражений. Слова и, или фигурируют практически во всех рассуждениях и играют в них особую роль, о которой речь пойдёт позже. Поэтому с уточнения смысла этих слов, придания им однозначности мы и начнём экскурсию в Логику. Условимся считать предложения вида А и В (где A и В тоже предложения) истинными в том и только в том случае, когда оба предложения А и В истинны.

Это определение соответствует нашему обычному пониманию союза «и» в роли связки двух предложений.

В самом деле, если, например, Гидрометцентр сообщил, что завтра будет температура от 0 до 2°С и не будет осадков, то мы вправе считать себя обманутыми в наших ожиданиях не только в том случае, если назавтра увидим на термометре —2°С, а за окном снег, но и если будет мороз без снега или плюсовая температура, но с дождём. Прогноз будет признан верным, истинным, только если окажутся истинными обе его части.

Займёмся теперь союзом «или». Как мы знаем, он в отличие от союза «и» употребляется по меньшей мере в двух смыслах — разделительном и неразделительном. Какой из них выбрать? Вспомним обращённую к сыну мамину фразу «Можешь сходить в кино или на каток», в которую они вложили разный смысл. Мама предполагала, что сын сделает одно из двух — пойдёт либо в кино, либо на каток, а сын понял, что он может сделать либо одно из двух, либо и то и другое.

Как видим, фраза А или В при разделительном понимании или истинна в двух случаях (из четырёх возможных), а именно при А истинном и В ложном или, наоборот, при А ложном и В истинном. При неразделителъном понимании или добавляется ещё один случай, когда А или В истинно, а именно когда А истинно и В истинно. Таким образом, разделительное «или» в некотором смысле частный случай неразделительного. Поэтому примем за основу неразделительное или и условимся считать предложение А или В истинным во всех случаях, когда хотя бы одно из составляющих его предложений А и В истинно. Иными словами, предложение А или В будем считать ложным только в том случае, когда A ложно и B ложно.

Приняв такое соглашение, мы на его основании можем с определённостью утверждать, что в споре между мамой и сыном прав был сын. Конечно, если бы мы исходили из разделительного смысла «или» и бы считать договорились истинным предложение А или В только в тех случаях, когда одно из предложений А и В истинно, а другое ложно, то были бы должны признать правоту матери и неправоту сына.

В повседневной жизни обычно не прибегают к определениям, а уточняют смысл сказанного другими способами — интонацией, дополнительными пояснениями — либо вовсе не уточняют, что, как мы видели, может привести к недоразумению. В научном языке таких недоразумений стараются избегать, придавая словам однозначный смысл.

Книга «Учимся рассуждать и доказывать» И. Л. Никольская, Е. Е. Семенов - купить на OZON.ru книгу с быстрой доставкой | 5-09-000591-5 Книга «Учимся рассуждать и доказывать» И. Л. Никольская, Е. Е. Семенов — купить на OZON.ru книгу с быстрой доставкой | 5-09-000591-5


Это слайд-шоу требует JavaScript.


  1. Высказывания
  2. Логические операции
  3. Свойства логических операций
  4. Решение логических задач